Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx，當x₂＞x₁＞0時，給出下列幾個結論：
①（x₁-x₂）•[f（x₁）-f（x₂）]＜0；
②f（x₁）+x₂＜f（x₂）+x₁；
③x₂•f（x₁）＜x₁•f（x₂）；
④當lnx₁＞-1時，x₁•f（x₁）+x₂•f（x₂）＞2x₂f（x₁）．
其中正確的是

 

（將所有你認為正確的序號填在橫線上）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：綜合題,函數(shù)的性質及應用

分析：求導數(shù)可得（0，

1

e

）上函數(shù)單調遞減，（

1

e

，+∞）上函數(shù)單調遞增，從而可知①②不正確；令g（x）=

f(x)

x

=lnx，則g′（x）=

1

x

，（0，+∞）上函數(shù)單調遞增，可判斷③；lnx₁＞-1時，f（x）單調遞增，結合x₂•f（x₁）＜x₁•f（x₂），利用不等式的傳遞性可以得到結論．

解答： 解：∵f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1，∴（0，

1

e

）上函數(shù)單調遞減，（

1

e

，+∞）上函數(shù)單調遞增，
從而可知①②不正確；
令g（x）=

f(x)

x

=lnx，則g′（x）=

1

x

，（0，+∞）上函數(shù)單調遞增，
∵x₂＞x₁＞0，∴g（x₂）＞g（x₁），∴x₂•f（x₁）＜x₁•f（x₂），即③正確；
lnx₁＞-1時，f（x）單調遞增，
∴x₁•f（x₁）+x₂•f（x₂）-2x₂f（x₁）=x₁[f（x₁）-f（x₂）]+x₂[f（x₂）-f（x₁）]=（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0
∴x₁•f（x₁）+x₂•f（x₂）＞x₁•f（x₂）+x₂f（x₁），
∵x₂•f（x₁）＜x₁•f（x₂），利用不等式的傳遞性可以得到x₁•f（x₁）+x₂•f（x₂）＞2x₂f（x₁），故④正確．
故答案為：③④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，考查函數(shù)的單調性，考查學生分析解決問題的能力．