【題目】設(shè)點O為坐標(biāo)原點，橢圓 的右頂點為A，上頂點為B，過點O且斜率為 的直線與直線AB相交M，且 ．
（Ⅰ）求證：a=2b；
（Ⅱ）PQ是圓C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過P，Q兩點，求橢圓E的方程．

【答案】解：（Ⅰ）證明：∵A（a，0），B（0，b）， ，

即為（a﹣xM，0﹣yM）= （xM﹣0，yM﹣b），

即有a﹣xM= xM，﹣yM= （yM﹣b），

所以 ，

∴ ，解得a=2b；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2b，∴橢圓E的方程為 ，即x2+4y2=4b2（1）

依題意，圓心C（2，1）是線段PQ的中點，且 ．

由對稱性可知，PQ與x軸不垂直，設(shè)其直線方程為y=k（x﹣2）+1，

代入（1）得：

（1+4k2）x2﹣8k（2k﹣1）x+4（2k﹣1）2﹣4b2=0

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），

則 ， ，

由 得 ，解得 ．

從而x1x2=8﹣2b2．

于是

解得b2=4，a2=16，∴橢圓E的方程為


【解析】（Ⅰ）運用向量的坐標(biāo)運算，可得M的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線OM的斜率，進(jìn)而得證；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2b，橢圓方程設(shè)為x2+4y2=4b2（1），設(shè)PQ的方程，代入方程（1），運用韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式，以及弦長公式，解方程即可得到a，b的值，進(jìn)而得到橢圓方程．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥，B藥)的療效，隨機地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者在服用一段時間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r間(單位：h)．試驗的觀測結(jié)果如下：

服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：

0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5

2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4

服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：

3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4

1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5

(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計算結(jié)果看，哪種藥的療效更好？

(2)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)繪制莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩家商場對同一種商品開展促銷活動,對購買該商品的顧客兩家商場的獎勵方案如下:

甲商場:顧客轉(zhuǎn)動如圖所示的圓盤,當(dāng)指針指向陰影部分(圖中兩個陰影部分均為扇形,且每個扇形的圓心角均為,邊界忽略不計)即為中獎.

乙商場:從裝有2個白球、2個藍(lán)球和2個紅球(這些球除顏色外完全相同)的盒子中一次性摸出2球,若摸到的是2個相同顏色的球,則為中獎.

試問:購買該商品的顧客在哪家商場中獎的可能性大?請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）當(dāng)時，解方程；

（2）當(dāng)時，若不等式在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）若a為常數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上存在零點，求實數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校100名學(xué)生的數(shù)學(xué)測試成績的頻率分布直方圖如圖所示，分?jǐn)?shù)不低于a即為優(yōu)秀，如果優(yōu)秀的人數(shù)為20，則a的估計值是(　　)

A. 130 B. 140 C. 133 D. 137

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】有關(guān)部門從甲、乙兩個城市所有的自動售貨機中隨機抽取了16臺,記錄下上午8:00~11:00之間各自的銷售情況(單位:元):

甲:18,8,10,43,5,30,10,22,6,27,25,58,14,18,30,41;

乙:22,31,32,42,20,27,48,23,38,43,12,34,18,10,34,23.

試用兩種不同的方式分別表示上面的數(shù)據(jù),并簡要說明各自的優(yōu)點.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義在上的函數(shù)，如果滿足對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱

是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界，已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時，求函數(shù)在上的值域，判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，并說明理由．

（2）若函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線C：y=2x2和直線l：y=kx+1，O為坐標(biāo)原點．
（1）求證：l與C必有兩交點；
（2）設(shè)l與C交于A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）兩點，且直線OA和OB的斜率之和為1，求k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某城市100戶居民的月平均用電量(單位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求直方圖中x的值;

(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù);

(3)在月平均用電量為[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四組用戶中,用分層抽樣的方法抽取11戶居民,則月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶?

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