已知函數(shù)f（x）和f（x+2）都是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[-2，2]時，f（x）=g（x）．則當(dāng)x∈[-4n-2，-4n+2]n∈Z時，f（x）的解析式為


  1. A.
    g（x）
  2. B.
    g（x+2n）
  3. C.
    g（x+4n）
  4. D.
    g（x-4n）
C
分析：由于f（x）和f（x+2）都是偶函數(shù)，即都關(guān)于y軸對稱，可知f（x）既關(guān)于x=0對稱還關(guān)于x=2對稱，從而f（x）為周期函數(shù)T=4；
當(dāng)-4n-2≤x≤-4n+2時，-2≤x+4n≤2，即f（x+4n）=g（x+4n）=f（x），所以可解．
解答：由于f（x）和f（x+2）都是偶函數(shù)，即都關(guān)于y軸對稱，
又f（x+2）是由f（x）向左移動2個單位得到，
從而可知f（x）既關(guān)于x=0對稱還關(guān)于x=2對稱，
從而f（x）為周期函數(shù)T=4；
又設(shè)：-4n-2≤x≤-4n+2，則-2≤x+4n≤2，
又由已知，可得f（x+4n）=g（x+4n）=f（x），
故當(dāng)-4n-2≤x≤-4n+2時f（x）解析式為g（x+4n），
故選C．
點評：本題考查函數(shù)奇偶性，平移及周期性的知識，三個考點，高考命題組規(guī)定函數(shù)的選擇，填空題一般考查不超過三個考點．所以本題是一道不可多得的好題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x），當(dāng)x，y∈R時，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求證：f（x）+f（-x）=0；
（2）若f（-3）=a，試用a表示f（24）；
（3）如果x∈R時，f（x）＜0，且f(1)=-
12
，試求f（x）在區(qū)間[-2，6]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+ax和g（x）=x-a．其中a∈R且a≠0．
（1）若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象的一個公共點恰好在x軸上，求a的值；
（2）若p和q是方程f（x）-g（x）=0的兩根，且滿足0＜p＜q＜
1a
，證明：當(dāng)x∈（0，p）時，g（x）＜f（x）＜p-a．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+5，若曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為3，且當(dāng)x=
23
時，y=f（x）有極值．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax+b，當(dāng)x∈[a1，b1]時，f（x）的值域為[a2，b2]，當(dāng)x∈[a2，b2]時，f（x）的值域為[a3，b3]，…當(dāng)x∈[an-1，bn-1]時，f（x）的值域為[an，bn]，其中a，b為常數(shù)，a1=0，b1=1．
（Ⅰ）a=1時，求數(shù)列{an}與{bn}的通項；
（Ⅱ）設(shè)a＞0且a≠1，若數(shù)列{bn}是公比不為1的等比數(shù)列，求b的值；
（Ⅲ）若a＞0，設(shè){an}與{bn}的前n項和分別記為Sn與Tn，求（T1+T1+…+Tn）-（S1+S2+…+Sn）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆黑龍江虎林高中高二下學(xué)期期中理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝alnx－x2＋1.

(1)若曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為4x－y＋b＝0，求實數(shù)a和b的值；

(2)若a<0，且對任意x1、x2∈(0，＋∞)，都|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|，求a的取值范圍．

【解析】第一問中利用f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

第二問中，利用當(dāng)a<0時，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，

不妨設(shè)0<x1≤x2，則|f(x1)－f(x2)|＝f(x1)－f(x2)，|x1－x2|＝x2－x1，

∴|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|等價于f(x1)－f(x2)≥x2－x1，

即f(x1)＋x1≥f(x2)＋x2，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的知識來解得。

(1)f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

(2)當(dāng)a<0時，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，

不妨設(shè)0<x1≤x2，則|f(x1)－f(x2)|＝f(x1)－f(x2)，|x1－x2|＝x2－x1，

∴|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|等價于f(x1)－f(x2)≥x2－x1，即f(x1)＋x1≥f(x2)＋x2，

令g(x)＝f(x)＋x＝alnx－x2＋x＋1，g(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，

∵g′(x)＝－2x＋1＝(x>0)，

∴－2x2＋x＋a≤0在x>0時恒成立，

∴1＋8a≤0，a≤－，又a<0，

∴a的取值范圍是

 

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