Question

12．設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（2+x）=f（2-x），當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=（$\sqrt{2}$）^x-1，若關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞0且a≠1）在區(qū)間（-2，6）內(nèi)恰有4個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{1}{4}$，1）
• B． （1，4）
• C． （1，8）
• D． （8，+∞）

Answer 1

分析 由題意，討論0＜a＜1時(shí)，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，-2＜x＜0時(shí)，y=f（x）和y=log_a（x+2）只有一個(gè)交點(diǎn)；故a＞1．關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1），在區(qū)間（-2，6）內(nèi)恰有四個(gè)不同實(shí)根可化為函數(shù)f（x）與函數(shù)y=log_a（x+2）有四個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)f（x）與函數(shù)y=log_a（x+2）的圖象，由圖象解出答案．

解答 解：由f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
且f（2+x）=f（2-x），
即為f（x+4）=f（-x）=f（x），
則f（x）為周期為4的函數(shù)．
當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=（$\sqrt{2}$）^x-1，
可得x∈[-2，0]時(shí)，f（x）=f（-x）=（$\sqrt{2}$）^-x-1，
又∵f（x）=log_a（x+2）（a＞0且a≠1），
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，-2＜x＜0時(shí)，y=f（x）和y=log_a（x+2）只有一個(gè)交點(diǎn)；
在0＜x＜6時(shí)，f（x）＞0，log_a（x+2）＜0，則沒(méi)有交點(diǎn)，
故a＞1，作出它們?cè)趨^(qū)間（-2，6）內(nèi)圖象如右圖：
當(dāng)x=6時(shí)，f（6）=f（2）=1，log_a（6+2）=1，解得a=8，
由于-2＜x＜6，即有a＞8，
y=f（x）和y=log_a（x+2）有四個(gè)交點(diǎn)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)之間的關(guān)系，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用，屬于中檔題．