Question

設(shè)拋物線M方程為y²=2px（p＞0），其焦點為F，P（a，b）（a≠0）為直線y=x與拋物線M的一個交點，|PF|=5
（1）求拋物線的方程；
（2）過焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，試問在拋物線M的準(zhǔn)線上是否存在一點Q，使得△QAB為等邊三角形，若存在求出Q點的坐標(biāo)，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）聯(lián)立方程組可求得P坐標(biāo)，根據(jù)|PF|=5及拋物線定義即可求得p值；
（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時易驗證不合題意；②當(dāng)直線存在斜率時設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0），直線l與拋物線的交點坐標(biāo)為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），聯(lián)立方程組消y后可求AB中點M坐標(biāo)，設(shè)存在Q（-1，m），由K_AB•K_QM=-1，Q到直線l的距離為d=|AB|，聯(lián)立即可解得k，m值，從而可判斷存在性；
解答：解：（1）⇒（舍去），
∴P（2p，2p），
∵|PF|=5，∴2p+=5，解得p=2，
∴拋物線的方程為y²=4x；
（2）①若直線l的斜率不存在，則Q只可能為（-1，0），此時△QAB不是等邊三角形，舍去；
②若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0），直線l與拋物線的交點坐標(biāo)為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由⇒k²x²-（2k²+4）x+k²=0，x₁+x₂=2+，
設(shè)存在Q（-1，m），AB的中點為M（1+，），設(shè)Q到直線l的距離為d，
有題意可知：①，d=|AB|⇒=|4+|②，
由①可得：m=+，③
③代入②得：（2k++）²=（k²+1）••，
化簡得：=12•⇒k²=，
將k=代入③得m=，
∴Q（-1，±8）為所求點．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及拋物線方程的求解，考查分類討論思想，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，解決本題的關(guān)鍵是充分利用正三角形的性質(zhì)列方程組．