Question

已知函數(shù)f(x)＝log₄(4^x＋1)＋kx(k∈R)為偶函數(shù)．

(1)求k的值；

(2)若方程f(x)＝log₄(a·2^x－a)有且只有一個(gè)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解　(1)∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，

即log₄(4^－x＋1)－kx＝log₄(4^x＋1)＋kx，

即(2k＋1)x＝0，∴k＝－.

(2)依題意有l(wèi)og₄(4^x＋1)－x＝log₄(a·2^x－a)，

即

令t＝2^x，則(1－a)t²＋at＋1＝0(*)，

只需其有一正根即可滿足題意．

①當(dāng)a＝1，t＝－1時(shí)，不合題意．

②(*)式有一正一負(fù)根t₁，t₂，

即

得a>1，經(jīng)驗(yàn)證正根滿足at－a>0，∴a>1.

③(*)式有相等兩根，即Δ＝0⇒a＝±2－2，

此時(shí)，

若a＝2(－1)，則有，此時(shí)方程(1－a)t²＋at＋1＝0無(wú)正根，故a＝2(－1)舍去；

因此a＝－2(＋1)．

綜上所述，a>1或a＝－2－2.