Question

11．已知|$\overrightarrow a|=1，|\overrightarrow b|=\sqrt{3}，\overrightarrow a+\overrightarrow b=（\sqrt{3}，1）$，則$\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夾角為120°．

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow a|=1，|\overrightarrow b|=\sqrt{3}，\overrightarrow a+\overrightarrow b=（\sqrt{3}，1）$，可得$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$=2=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$，化為$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0．可得$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}}$=2．利用向量夾角公式即可得出．

解答 解：∵|$\overrightarrow a|=1，|\overrightarrow b|=\sqrt{3}，\overrightarrow a+\overrightarrow b=（\sqrt{3}，1）$，
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+1}$=2=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$，
化為$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，
∴$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}}$=2．
設(shè)$\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夾角為θ，
則cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow||\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$=$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow}^{2}}{2×2}$=$\frac{1-3}{4}$=-$\frac{1}{2}$．
則$\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夾角為120°．
故答案為：120°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量夾角公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．