Question

16．已知數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b₂=3，b_n=$\frac{{^{2}}_{n-1}+2}{_{n-2}}$（n≥3），求數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析 通過b_n=$\frac{{^{2}}_{n-1}+2}{_{n-2}}$（n≥3）可知${_{n-1}}^{2}$+2=b_nb_n-2、${_{n}}^{2}$+2=b_n+1b_n-1，兩式相減整理可知b_n（b_n+b_n-2）=b_n-1（b_n+1+b_n-1），進而可知$\frac{_{n}}{_{n+1}+_{n-1}}$=$\frac{_{n-1}}{_{n}+_{n-2}}$=…=$\frac{_{2}}{_{3}+_{1}}$=$\frac{1}{4}$，從而b_n+2-4b_n+1+b_n=0，變形可知b_n+2-$（2-\sqrt{3}）$b_n+1=$（2+\sqrt{3}）$[b_n+1-$（2-\sqrt{3}）$b_n]，進而可知b_n+1-$（2-\sqrt{3}）$b_n=$（1+\sqrt{3}）$•$（2+\sqrt{3}）^{n-1}$，再次變形可知數(shù)列{$\frac{_{n}}{（2+\sqrt{3}）^{n}}$-$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$}是首項為$\frac{9-5\sqrt{3}}{6}$、公比為$（2-\sqrt{3}）^{2}$的等比數(shù)列，計算即得結(jié)論．

解答 解：∵b₁=1，b₂=3，b_n=$\frac{{^{2}}_{n-1}+2}{_{n-2}}$（n≥3），
∴${_{n-1}}^{2}$+2=b_nb_n-2，
${_{n}}^{2}$+2=b_n+1b_n-1，
兩式相減得：${_{n}}^{2}-{_{n-1}}^{2}$=b_n+1b_n-1-b_nb_n-2，
∴b_n（b_n+b_n-2）=b_n-1（b_n+1+b_n-1），
∴$\frac{_{n}}{_{n+1}+_{n-1}}$=$\frac{_{n-1}}{_{n}+_{n-2}}$=…=$\frac{_{2}}{_{3}+_{1}}$=$\frac{3}{11+1}$=$\frac{1}{4}$，
∴b_n+2-4b_n+1+b_n=0，
變形得：b_n+2-$（2-\sqrt{3}）$b_n+1=$（2+\sqrt{3}）$[b_n+1-$（2-\sqrt{3}）$b_n]，
∴b_n+1-$（2-\sqrt{3}）$b_n=$（1+\sqrt{3}）$•$（2+\sqrt{3}）^{n-1}$，
∴$\frac{_{n+1}}{（2+\sqrt{3}）^{n+1}}$-$（2-\sqrt{3}）$²•$\frac{_{n}}{（2+\sqrt{3}）^{n}}$=$（1+\sqrt{3}）$•$（2-\sqrt{3}）^{2}$，
變形得：$\frac{_{n+1}}{（2+\sqrt{3}）^{n+1}}$-$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$=$（2-\sqrt{3}）$²•[$\frac{_{n}}{（2+\sqrt{3}）^{n}}$-$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$]，
∴數(shù)列{$\frac{_{n}}{（2+\sqrt{3}）^{n}}$-$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$}是首項為$\frac{9-5\sqrt{3}}{6}$、公比為$（2-\sqrt{3}）^{2}$的等比數(shù)列，
∴$\frac{_{n}}{（2+\sqrt{3}）^{n}}$-$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$=$\frac{9-5\sqrt{3}}{6}$•$（2-\sqrt{3}）^{2n-2}$，
∴b_n=$（2+\sqrt{3}）^{n}$[$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$+$\frac{9-5\sqrt{3}}{6}$•$（2-\sqrt{3}）^{2n-2}$]．

點評 本題考查數(shù)列的通項，考查運算求解能力，對表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于難題．