Question

10．已知二次函數(shù)f（x）與x軸的兩個交點分別是（-3，0），（5，0），且f（2）=15．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）令g（x）=（2-2m）x-f（x），求函數(shù)g（x）在x∈[0，2]的最小值．

Answer 1

分析 （1）據(jù)二次函數(shù)的形式設出f（x）的解析式，將已知條件代入，列出方程，令方程兩邊的對應系數(shù)相等解得．
（2）函數(shù)g（x）的圖象是開口朝上，且以x=m為對稱軸的拋物線，分當m≤0時，當0＜m＜2時，當m≥2時三種情況分別求出函數(shù)的最小值，可得答案．

解答 解：（1）設f（x）=a（x+3）（x-5），
∵f（2）=15，∴a（2+3）（2-5）=15，解得：a=-1，
∴函數(shù)f（x）的表達式為f（x）=-x²+2x+15；
（2）∵g（x）=（2-2m）x-f（x）=x²-2mx-15，
函數(shù)圖象是開口朝上，且以x=m為對稱軸的拋物線，
當m≤0時，g（x）在[0，2]上為增函數(shù)，當x=0時，函數(shù)g（x）取最小值-15；
當0＜m＜2時，g（x）在[0，m]上為減函數(shù)，在[m，2]上為增函數(shù)，當x=m時，函數(shù)g（x）取最小值-m²-15；
當m≥2時，g（x）在[0，2]上為減函數(shù)，當x=2時，函數(shù)g（x）取最小值-4m-11；
∴函數(shù)g（x）在x∈[0，2]的最小值為 $\left\{\begin{array}{l}{-15，m≤0}\\{{-m}^{2}-15，0＜m＜2}\\{-4m-11，m≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質，是解答的關鍵．