Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-2x2+3x（x∈R）的圖象為曲線C．
（1）求過曲線C上任意一點(diǎn)的切線斜率的取值范圍；
（2）若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；
（3）證明：不存在與曲線C同時切于兩個不同點(diǎn)的直線．

Answer 1

分析：（1）據(jù)切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為曲線切線斜率，求導(dǎo)函數(shù)的范圍也就是切線斜率范圍．
（2）互相垂直的切線斜率互為負(fù)倒數(shù)，由（1）求斜率范圍，據(jù)切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為曲線切線斜率，求切點(diǎn)橫坐標(biāo)范圍．
（3）據(jù)切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為曲線切線斜率，求出兩切點(diǎn)處的兩條直線，它們的斜率相等和縱截距得矛盾．

解答：解：（1）f′（x）=x²-4x+3，
則f′（x）=（x-2）²-1≥-1，
即過曲線C上任意一點(diǎn)的切線斜率的取值范圍是[-1，+∞）；
（2）由（1）可知，

k≥-1 - 1 k ≥ -1

解得-1≤k＜0或k≥1，
由-1≤x²-4x+3＜0或x²-4x+3≥1
得：x∈(-∞，2-

2

]∪(1，3)∪[2+

2

，+∞]；
（3）設(shè)存在過點(diǎn)A（x₁，y₁）的切線曲線C同時切于兩點(diǎn)，另一切點(diǎn)為B（x₂，y₂），x₁≠x₂
，則切線方程是：y-( 

1

3

x13-2x12+3x1)=（x₁²-4x₁+3）（x-x₁），
化簡得：y=（x₁²-4x₁+3）x+(-

2

3

x13+2x12)
而過B（x₂，y₂）的切線方程是y=（x₂²-4x₂+3）x+(-

2

3

x23+2x22)，
由于兩切線是同一直線，
則有：x₁²-4x₁+3=x₂²-4x₂+3，得x₁+x₂=4，
又由-

2

3

x13+2x12=-

2

3

x23+2x22，
即-

2

3

(x1-x2)(x12+x1x2+x22)+2（x₁-x₂）（x₁+x₂）=0
-

1

3

(x12+x1x2+x22)+4=0，即x₁（x₁+x₂）+x₂²-12=0
即（4-x₂）×4+x₂²-12=0×4+x₂²-12=0，x₂²-4x₂+4=0
得x₂=2，但當(dāng)x₂=2時，由x₁+x₂=4得x₁=2，這與x₁≠x₂矛盾．
所以不存在一條直線與曲線C同時切于兩點(diǎn)．

點(diǎn)評：考查切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為曲線切線斜率，同一條直線斜率和縱截距相等，與解不等式、方程結(jié)合解題．