Question

設(shè)a₁，a₂，a₃，a₄，a₅為自然數(shù)，A={a₁，a₂，a₃，a₄，a₅}，B={a₁²，a₂²，a₃²，a₄²，a₅²}，且a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，并滿足A∩B={a₁，a₄}，a₁+a₄=10，A∪B中的所有元素之和為256，則集合A為________．

Answer 1

{1，2，3，9，12}或{1，3，5，9，11}
分析：先由條件A∩B={a₁，a₄}，且五個(gè)自然數(shù)的大小關(guān)系，得出a₁=a₁²，求出a₁的值，再由a₁+a₄=10，求出a₄的值，進(jìn)而確定出a₂=3或a₃=3，分兩種情況考慮：①若a₃=3時(shí)，a₂=2，由A∪B中的所有元素之和為256，求出a₅的值，從而確定出集合A；②若a₂=3時(shí)，表示出此時(shí)A和B，則得到a₃的范圍，根據(jù)a₃及a₅表示自然數(shù)，得到只有a₃=5時(shí)，a₅=11，進(jìn)而確定出集合A，綜上，得到滿足題意的集合A．
解答：由A∩B={a₁，a₄}，且a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅ ，
得到只可能a₁=a₁²，即a₁=1，
又a₁+a₄=10，
∴a₄=9，且a₄=9=a_i²（2≤i≤3），
∴a₂=3或a₃=3，…
①若a₃=3時(shí)，a₂=2，此時(shí)A={1，2，3，9，a₅}，B={1，4，9，81，a₅²}，
因a₅²≠a₅，
故1+2+3+9+4+a₅+81+a₅²=256，
從而a₅²+a₅-156=0，解得a₅=12，
所以A={1，2，3，9，12}；…
②若a₂=3時(shí)，此時(shí)A={1，3，a₃，9，a₅}，B={1，9，a₃²，81，a₅²}，
因1+3+9+a₃+a₅+81+a₃²+a₅²=256，
從而a₅²+a₅+a₃²+a₃-162=0，
又a₂＜a₃＜a₄，則3＜a₃＜9，
當(dāng)a₃=4、6、7、8時(shí)，a₅無整數(shù)解，
當(dāng)a₃=5時(shí)，a₅=11，
所以A={1，3，5，9，11}；…
綜上，A={1，2，3，9，12}或{1，3，5，9，11}．
故答案為：{1，2，3，9，12}或{1，3，5，9，11}
點(diǎn)評(píng)：此題考查了交集及運(yùn)算，并集及運(yùn)算，利用了轉(zhuǎn)化及分類討論的數(shù)學(xué)思想，鍛煉了學(xué)生的邏輯推理能力，是一道綜合性較強(qiáng)的題．