【題目】如圖,在三棱柱中,側(cè)面是菱形,,是棱的中點,,在線段上,且.
(1)證明:面;
(2)若,面面,求二面角的余弦值.
【答案】(1)詳見解析;(2).
【解析】
(1)連接交于點,連接,利用三角形相似證明,然后證明面.
(2)過作于,以為原點,,,分別為軸,軸,軸的正方向建立空間直角坐標(biāo),
不妨設(shè),求出面的一個法向量,面的一個法向量,然后利用空間向量的數(shù)量積求解即可.
解:(1)連接交于點,連接.
因為,所以,又因為,所以,所以,
又面,面,所以面.
(2)過作于,因為,所以是線段的中點.
因為面面,面面,所以面.連接,
因為是等邊三角形,是線段的中點,所以.
如圖以為原點,,,分別為軸,軸,軸的正方向建立空間直角坐標(biāo),
不妨設(shè),則,,,,,
由,得,的中點,,.
設(shè)面的一個法向量為,則,即,
得方程的一組解為,即.
面的一個法向量為,則,
所以二面角的余弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的左、右焦點分別為, ,且離心率為, 為橢圓上任意一點,當(dāng)時, 的面積為1.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知點是橢圓上異于橢圓頂點的一點,延長直線, 分別與橢圓交于點, ,設(shè)直線的斜率為,直線的斜率為,求證: 為定值.
【答案】(1);(2)
【解析】試題分析:(1)設(shè)由題,由此求出,可得橢圓的方程;
(2)設(shè), ,
當(dāng)直線的斜率不存在時,可得;
當(dāng)直線的斜率不存在時,同理可得.
當(dāng)直線、的斜率存在時,,
設(shè)直線的方程為,則由消去通過運算可得
,同理可得,由此得到直線的斜率為,
直線的斜率為,進而可得.
試題解析:(1)設(shè)由題,
解得,則,
橢圓的方程為.
(2)設(shè), ,
當(dāng)直線的斜率不存在時,設(shè),則,
直線的方程為代入,可得,
, ,則,
直線的斜率為,直線的斜率為,
,
當(dāng)直線的斜率不存在時,同理可得.
當(dāng)直線、的斜率存在時,,
設(shè)直線的方程為,則由消去可得:
,
又,則,代入上述方程可得
,
,則
,
設(shè)直線的方程為,同理可得,
直線的斜率為,
直線的斜率為,
.
所以,直線與的斜率之積為定值,即.
【題型】解答題
【結(jié)束】
21
【題目】已知函數(shù), ,在處的切線方程為.
(1)求, ;
(2)若方程有兩個實數(shù)根, ,且,證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的短軸長為,離心率為,直線:與橢圓交于不同的兩點,,為橢圓的左頂點.
(1)求橢圓的標(biāo)準方程;
(2)當(dāng)的面積為時,求的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線:(為參數(shù))和曲線:(為參數(shù)).
(1)化,的方程為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線;
(2)若上的點對應(yīng)的參數(shù)為,為上的動點,求中點到直線:(為參數(shù))距離的最小值及此時點的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(,且),且.
(1)求實數(shù)的值;
(2)判斷函數(shù)的奇偶性并證明
(3)若函數(shù)有零點,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列五個命題不正確的是________.
①若等比數(shù)列的公比,則數(shù)列單調(diào)遞增.
②常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列.
③在中,角ABC所對的邊分別為a,b,c,若則且.
④在中,若,則為銳角三角形.
⑤等比數(shù)列的前n項和為,對任意正整數(shù)m,則,,,…仍成等比數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知D,E分別為BC,B1C1的中點,點F在棱CC1上,且EF⊥C1D.求證:
(1)直線A1E∥平面ADC1;
(2)直線EF⊥平面ADC1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓的方程為,圓的方程為,動圓與圓內(nèi)切且與圓外切.
(1)求動圓圓心的軌跡的方程;
(2)已知與為平面內(nèi)的兩個定點,過點的直線與軌跡交于,兩點,求四邊形面積的最大值.
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