Question

若二次函數(shù)y＝－x²＋mx－1的圖象與兩端點為A(0，3)，B(3，0)的線段AB有兩個不同的交點，求m的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：線段AB的方程為x＋y＝3(0≤x≤3)，由題意得方程組 　　 　　有兩組實解，①代入②得x2－(m＋1)x＋4＝0(0≤x≤3)有兩個實根， 　　令f(x)＝x2－(m＋1)x＋4． 　　因此問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)f(x)＝x2－(m＋1)x＋4在x∈[0，3]上有兩個實根，故有 　　 　　故m的取值范圍是(3，]． 　　點評：本題解法體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想：從列方程(組)開始，通過消元得到一元方程，對這個方程根的研究轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)f(x)在[0，3]的實根，又轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)f(x)在[0，3]上與x軸有兩個交點的問題，最后建立m的不等式組求出m，整個解題過程充滿了對函數(shù)、方程和不等式的研究和轉(zhuǎn)化，充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想的應用． 　　本題在得到方程－x2＋(m＋1)x－4＝0(0≤x≤3)有了兩個實根后，還可用下列函數(shù)思想求解． 　　∵x＝0不是方程的根，∴x≠0． 　　∴兩邊同除以x得m＝＋x－1，x∈(0，3]． 　　其與x軸有兩個交點． 　　∵設(shè)函數(shù)μ＝x＋－1，其在(0，2]為減函數(shù)，∴μ≥3，當x∈[2，3]時為增函數(shù)，∴3≤μ≤，即3≤m≤．

提示：

先求出線段AB的方程，之后將圖象交點問題轉(zhuǎn)化為求方程組的解的問題，再將方程組解的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間上有零點的問題，通過不等式組求得m的范圍．