Question

17．設f（n）=cos（$\frac{n}{2}$π+$\frac{π}{4}$）（n∈N^*），求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）的值．

Answer 1

分析 由已知中函數(shù)的解析式，分析出函數(shù)的周期性，進而利用分組求和法，可得答案．

解答 解：∵f（n）=cos（$\frac{n}{2}$π+$\frac{π}{4}$）（n∈N^*），
當n=4k+1，k∈N時，f（n）=cos$\frac{3π}{4}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當n=4k+2，k∈N時，f（n）=cos$\frac{5π}{4}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當n=4k+3，k∈N時，f（n）=cos$\frac{7π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當n=4k+4，k∈N時，f（n）=cos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即f（n）的值以4為周期，呈周期性變化，
∵2015=4×503+3，
故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=503[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的周期性，函數(shù)求值，難度不大，屬于基礎題．