【題目】如圖,在三棱柱中, , 是線段的中點,且 平面.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求證: 平面;
(Ⅲ)若, ,求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析(Ⅲ)
【解析】試題分析:(Ⅰ)由,可得,由 平面可得.根據線面垂直的判定定理可得平面,再利用面面垂直的判定定理可得結論;(Ⅱ)連接,設,根據三角形中位線定理可得,從而根據線面平行的判定定理可得平面;(Ⅲ)取的中點,則,因為,所以,又因為平面,所以兩兩垂直.以為原點,分別以為軸建立空間坐標系,利用向量垂直數量積為零列方程組,分別求出平面的一個法向量與平面的一個法向量,根據空間向量夾角余弦公式,可得結果.
試題解析:(Ⅰ)證明:因為,所以.
根據題意, 平面, 平面,所以.
因為,所以平面.
又因為平面,所以平面平面.
(Ⅱ)證明:連接,設,連接根據棱柱的性質可知, 為的中點,因為是的中點,所以.又因為平面,
平面,
所以平面.
(Ⅲ)如圖,取的中點,則,因為,所以,
又因為平面,所以兩兩垂直.以為原點,分別以為軸建立空間坐標系(如圖).
由(Ⅰ)可知, 平面,
所以.又因為, ,所以平面,所以,所以四邊形為菱形.
由已知,
則, , , .
設平面的一個法向量為,
因為, ,所以,即
設,則.
再設平面的一個法向量為,
因為, ,所以,即
設,則.故.
由圖知,二面角的平面角為銳角,
所以二面角的余弦值為.
【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、面面垂直的證明以及利用空間向量求二面角,屬于難題. 空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當的空間直角坐標系;(2)寫出相應點的坐標,求出相應直線的方向向量;(3)設出相應平面的法向量,利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關系轉化為向量關系;(5)根據定理結論求出相應的角和距離.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某花店每天以每枝5元的價格從農場購進若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價格出售,如果當天賣不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理.
(Ⅰ)若花店一天購進17枝玫瑰花,求當天的利潤(單位:元)關于當天需求量(單位:枝, )的函數解析式.
(Ⅱ)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得下表:
以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.
(1)若花店一天購進17枝玫瑰花, 表示當天的利潤(單位:元),求的分布列及數學期望;
(2)若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花,以利潤角度看,你認為應購進16枝好還是17枝好?請說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知點M(﹣1,0),N(1,0),曲線E上任意一點到點M的距離均是到點N的距離的倍.
(1)求曲線E的方程;
(2)已知m≠0,設直線:x﹣my﹣1=0交曲線E于A,C兩點,直線:mx+y﹣m=0交曲線E于B,D兩點,若CD的斜率為﹣1時,求直線CD的方程.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系xOy中,直線l:y=t(t≠0)交y軸于點M,交拋物線C:y2=2px(p>0)于點P,M關于點P的對稱點為N,連結ON并延長交C于點H.
(1)求;
(2)除H以外,直線MH與C是否有其它公共點?說明理由.
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