Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

2an

2+an

（n∈N^*），
（1）寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)；
（2）根據(jù)數(shù)列的前5項(xiàng)寫出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式（不需要證明）；
（3）令b_n=

anan+1

4

，證明：b₁+b₂+…+b_n＜

1

2

成立．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

2an

2+an

（n∈N^*），代入即可得出；
（2）根據(jù)數(shù)列的前5項(xiàng)猜想這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式an=

2

n+1

(n∈N*)．
（3）由b_n=

anan+1

4

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，利用“裂項(xiàng)求和”b₁+b₂+…+b_n=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)=

1

2

-

1

n+2

即可證明．

解答： （1）解：∵在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

2an

2+an

（n∈N^*），
∴a₂=

2

2+1

=

2

3

，同理a₃=

1

2

，a₄=

2

5

，a₅=

1

3

．
（2）解：根據(jù)數(shù)列的前5項(xiàng)猜想這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式an=

2

n+1

(n∈N*)．
（3）證明：b_n=

anan+1

4

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴b₁+b₂+…+b_n=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)=

1

2

-

1

n+2

＜

1

2

，
∴b₁+b₂+…+b_n＜

1

2

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的意義、猜想能力、“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．