Question

2．已知拋物線y²=6x上的兩個動點A和B，F(xiàn)是焦點，滿足AF+BF=7，線段AB的垂直平分線與x軸交于點C，求點C的坐標．

Answer 1

分析 設拋物線上兩個動點A、B的坐標，由|AF|+BF|=7，結(jié)合焦半徑可得AB的中點的坐標，把A、B的坐標代入拋物線方程，用點差法求得AB的斜率，則AB的垂直平分線方程可求，取y=0可得C點坐標．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁²=6x₁，y₂²=6x₂，
兩式作差得：（y₁-y₂）（y₁+y₂）=6（x₁-x₂），
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{6}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，即AB的斜率為$\frac{6}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
由|AF|+BF|=7，拋物線的準線為x=-$\frac{3}{2}$，
由拋物線的定義可得x₁+x₂+3=7，
∴x₁+x₂=4．
∴AB的中點坐標為（2，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），
∴AB的垂直平分線方程為y-$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{6}$（x-2），
取y=0，得x=5．
∴點C的坐標為（5，0），

點評 本題主要考查了直線與拋物線的位置關系的應用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關系求解，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考生具備較強的運算推理的能力．