Question

已知一次函數(shù)f（x）=kx-2滿足f（2）-f（0）=6．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）=f（x）+f（

1

x

）的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（Ⅰ）由已知，得（2k-2）-（-2）=6，求出k值，可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）=f（x）+f（

1

x

）的解析式，分x＞0和x＜0兩種情況結(jié)合基本不等式求出函數(shù)值的取值范圍，綜合討論結(jié)果可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，得（2k-2）-（-2）=6，（3分）
解得k=3．
所以函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=3x-2．（6分）
（Ⅱ）g(x)=f(x)+f(

1

x

)=3x-2+

3

x

-2=3x+

3

x

-4•x≠0．
當x＞0時，3x+

3

x

≥6，
當且僅當3x=

3

x

，即x=1時等號成立，（8分）
所以g（x）≥2．（10分）
當x＜0時，因為-3x+(-

3

x

)≥6，
所以3x+

3

x

≤-6，
當且僅當3x=

3

x

，即x=-1時等號成立，（11分）
所以g（x）≤-10．（12分）
所以，函數(shù)g（x）的值域為（-∞，-10]∪[2，+∞）．（13分）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的值域，函數(shù)的解析式，基本不等式的應用，是函數(shù)，方程，不等式的綜合應用，難度中檔．