Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E為AD的中點(diǎn)，M是棱PC上的點(diǎn)，PA=PD=AD=2BC=2，CD=

3

．
（1）求證：PE∥平面BDM；　
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）本小題是一個(gè)證明線面平行的題，一般借助線面平行的判定定理求解，連接BE，因?yàn)锽C∥AD，DE=BC，所以四邊形BCDE為平行四邊形，連接EC交BD于O，連接MO，則MO∥PE，則根據(jù)線面平行的判定定理可知PE∥平面BDM．
（2）由于平面PAD⊥底面ABCD，PE⊥AD，由面面垂直的性質(zhì)定理可知PE⊥底面ABCD，所以PE是三棱錐P-DBC的高，且PE=

3

，又因?yàn)閂_P-DMB可看成V_P-DBC和V_M-DBC差構(gòu)成，由（1）知MO是三棱錐M-DBC的高，由此能求出三棱錐P-MBD的體積．

解答： （1）證明：連接BE，因?yàn)锽C∥AD，DE=BC，
所以四邊形BCDE為平行四邊形
連接EC交BD于O，連接MO，則MO∥PE，
又MO?平面BDM，PE?平面BDM，
所以PE∥平面BDM．
（2）解：V_P-DMB=V_P-DBC-V_M-DBC，
由于平面PAD⊥底面ABCD，PE⊥AD，PE⊥底面ABCD，
所以PE是三棱錐P-DBC的高，且PE=

3

由（1）知MO是三棱錐M-DBC的高，MO=

3

2

，S△BDC=

3

2

，
所以VP-DBC=

1

2

，VM-DBC=

1

4

，則VP-DMB=

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查三棱錐體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．