Question

等腰梯形EDCF中，A、B分別為DE、CF的中點，DE＝2CF＝2AB＝4．沿AB將梯形折成60°的二面角．如圖所示

(Ⅰ)DF與平面ABCD所成角；

(Ⅱ)求二面角A―DE―F的大�。�

Answer 1

答案：
解析：

解：如圖所示，下圖中，， 　　經折疊后，， 　　且 　　∴平面　∴平面． 　　∵二面角的大小為60°∴ 　　∴為等邊三角形． 　　同理，平面　　為等邊三角形． 　　(Ⅰ)取BC的中點P，連接FP．∵ 　　∴． 　　∴為DF與平面ABCD所成的角． 　　∵　如圖(1)， 　　∴， 　　故　　6分 　　(Ⅱ)∵ 　　∴． 　　取AE的中點Q，連結FQ，則． 　　∴． 　　又作，則由三垂線定理，． 　　∴為二面角的平面角． 　　∵，． 　　∴，故． 　　∴二面角大小為　　12分 　　法2(向量法) 　　如圖所示建立空間直角坐標系O為BC的中點 　　易知各點坐標如下：，， 　　又　∴E的坐標為 　　(Ⅰ)顯然 　　∴為DF與平面ABCD所成的角． 　　∴， 　　∴． 　　故DF與平面ABCD所成角的大小為　　6分 　　(Ⅱ)設二面角大小為，平面CDEF的法向量為 　　∵， 　　∴，令，則 　　而平面ADE的法向量． 　　∴ 　　∴二面角的大小為　　12分