Question

3．已知函數(shù)f（x-1）=x-1+$\sqrt{3-2x}$
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式．
（2）求y=f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）換元，令x-1=t，從而求出函數(shù)的解析式；
（2）換元，令$\sqrt{1-2x}$，t≥0，解出x，從而得到y(tǒng)=-$\frac{1}{2}$t²+t+$\frac{1}{2}$，根據(jù)t≥0即可求出y的范圍，即求出原函數(shù)的值域．

解答 解：（1）令x-1=t，則x=t+1，
∴f（t）=t+$\sqrt{3-2（t+1）}$=t+$\sqrt{1-2t}$（t≤$\frac{1}{2}$），
∴f（x）=x+$\sqrt{1-2x}$，（x≤$\frac{1}{2}$），
（2）∵f（x）=x+$\sqrt{1-2x}$，（x≤$\frac{1}{2}$），
令$\sqrt{1-2x}$=m，（m≥0），則x=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$m²，
∴f（m）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$m²+m=-$\frac{1}{2}$（t-1）²+1，（m≥0），
∴函數(shù)f（m）在[0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴f（m）_最大值=f（1）=1，無最小值，
∴函數(shù)的值域是（-∞，1]．

點評 考查函數(shù)的解析式、值域的概念，換元法求函數(shù)的值域，注意換元后的新變量的范圍，配方求二次函數(shù)值域的方法．