Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）=5x+sinx，則不等式f （x-1）+f （1-x²）＜0的解集為_(kāi)_______．

Answer 1

（-∞，0）∪（1，+∞）
分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，證出f（x）是定義在R上的奇函數(shù)．再由導(dǎo)數(shù)恒大于0，得到f（x）是定義在R上的增函數(shù)．由此將不等式f （x-1）+f （1-x²）＜0等價(jià)轉(zhuǎn)化為x-1＜x²-1，解之即可得到原不等式的解集．
解答：∵函數(shù)解析式為f（x）=5x+sinx，
∴f（-x）=-5x+sin（-x）=-（5x+sinx）=-f（x），
因此函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)
又∵函數(shù)f（x）導(dǎo)數(shù)f'（x）=5+cosx＞0恒成立
∴函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)
因此不等式f （x-1）+f （1-x²）＜0，即f （x-1）＜-f （1-x²）=f（x²-1）
可得x-1＜x²-1，解之得x＜0或x＞1
∴原不等式的解集為（-∞，0）∪（1，+∞）
故答案為：（-∞，0）∪（1，+∞）
點(diǎn)評(píng)：本題給出函數(shù)f（x）=5x+sinx，要求我們利用單調(diào)性和奇偶性解關(guān)于x的不等式f （x-1）+f （1-x²）＜0，著重考查了函數(shù)的基本性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和一無(wú)二次不等式的解法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．