Question

（本題滿分16分） 已知函數(shù).

（Ⅰ）若不等式的解集為，，求的取值范圍；

（Ⅱ）若為整數(shù)，，且函數(shù)在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若函數(shù)對(duì)任意的x∈，有恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.

Answer 1

（Ⅰ）（2，+∞）（Ⅱ）（Ⅲ）1.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）本題為線性規(guī)劃求范圍問(wèn)題，先列出可行域：由題知，以a為x軸，b為y軸建立直角坐標(biāo)系，由圖可知直線過(guò)點(diǎn)取最小值2，（Ⅱ）本題先分一次函數(shù)與二次函數(shù)討論：時(shí)，f(x)=－2x+1,零點(diǎn)為，不合，舍去；時(shí)，∵ ∴ ，，∴函數(shù)必有兩個(gè)零點(diǎn)，再根據(jù)零點(diǎn)存在定理列函數(shù)在上恰有一個(gè)零點(diǎn)的充要條件：，又，∴ （Ⅲ）先化簡(jiǎn)不等式：對(duì)任意的x∈恒成立，即，令t(x)= ，則，

，在（1，+∞）上單調(diào)增，

∴t(x) = 在（1，+∞）單調(diào)增，,從而實(shí)數(shù)的最小值為1.

試題解析：【解析】
（Ⅰ）由題知

∈（2，+∞）

（Ⅱ）時(shí)，f(x)=－2x+1,零點(diǎn)為，不合，舍去；

時(shí)，∵ ∴ ，，

∴函數(shù)必有兩個(gè)零點(diǎn)，

又函數(shù)在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，∴

，又，∴

（Ⅲ），， 整理得

令H(x)= ，，

在（1，+∞）上單調(diào)增，又，>0,

∴H(x) = 在（1，+∞）單調(diào)增，，k≥1,k的最小值為1.

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)，不等式恒成立