Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將從點(diǎn)M出發(fā)沿縱、橫方向到達(dá)點(diǎn)N的任一路徑成為M到N的一條“L路徑”。如圖所示的路徑都是M到N的“L路徑”。某地有三個(gè)新建的居民區(qū)，分別位于平面xOy內(nèi)三點(diǎn)處�，F(xiàn)計(jì)劃在x軸上方區(qū)域（包含x軸）內(nèi)的某一點(diǎn)P處修建一個(gè)文化中心。

（I）寫出點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長度最小值的表達(dá)式（不要求證明）；

（II）若以原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)部是保護(hù)區(qū)，“L路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū)，請確定點(diǎn)P的位置，使其到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長度值和最小。

 

Answer 1

【答案】

（I）（II）P（3,1）處

【解析】（1）點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長度最小值為.

（2）依題意，點(diǎn)P到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長度之和的最小值為點(diǎn)P分別到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長度之和（記為d）的最小值；

1、當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/p>

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立；

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081712592660671435/SYS201308171300406859813966_DA.files/image006.png">，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立. ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.

故當(dāng)P的坐標(biāo)為（3,1）時(shí)，P到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長度之和最小，且最小值為45；

2、當(dāng)時(shí)，由于“L路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū)，所以”，此時(shí)，，有1知，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，綜上所述，在P（3,1）處修建文化中心，可以使得“L路徑”長度之和最小.