Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為的直線與拋物線相交于兩點(diǎn).設(shè)直線是拋物線的切線，且直線為上一點(diǎn)，且的最小值為.

（1）求拋物線的方程；

（2）設(shè)是拋物線上，分別位于軸兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且.求證：直線必過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析，.

【解析】

（1）依題意，設(shè)出M、N坐標(biāo)及直線的方程為，代入拋物線方程，可得根與系數(shù)關(guān)系，設(shè)直線和拋物線相切于點(diǎn)，由題意和切線的幾何意義知，曲線在處的切線斜率為1，因此得，可得切線的方程，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入化簡(jiǎn)并求得最小值為可解出p，即可求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；

（2）直線的斜率一定存在，設(shè)的方程為，代入y2=4x，利用韋達(dá)定理結(jié)合，求出b，即可證明直線l必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．

(1)依題意，直線的方程為.

設(shè),

將直線的方程代入中，

得，

因此.

設(shè)直線和拋物線相切于點(diǎn)，

由題意和切線的幾何意義知，曲線在處的切線斜率即導(dǎo)數(shù)為1，

因此得，

切點(diǎn)的坐標(biāo)為，

因此切線的方程為.

設(shè)，

于是

將，代入其中，

可得.

當(dāng)時(shí)，取得最小值，

由，

可解得正數(shù)值為2，

因此所求的拋物線方程為.

（2）顯然，直線的斜率一定存在，

設(shè)的方程為，，

則，

故，

也即，①

將代入拋物線中，

得，

故.

將它們代入到①中，得，

解得，

因此直線恒過點(diǎn).