Question

已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)是（0，-

3

）和（0，

3

），并且經(jīng)過點(diǎn)(

3

2

 ，  1)，拋物線的頂點(diǎn)E在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)恰好是橢圓C的右頂點(diǎn)F．
（Ⅰ）求橢圓C和拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F作兩條斜率都存在且互相垂直的直線l₁、l₂，l₁交拋物線E于點(diǎn)A、B，l₂交拋物線E于點(diǎn)G、H，求

AG

•

HB

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用橢圓的定義，求出a，即可得出橢圓的方程，從而可得右頂點(diǎn)F的坐標(biāo)，即可求出拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)l₁的方程：y=k（x-1），l₂的方程y=-

1

k

(x-1)，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，利用基本不等式，即可求

AG

•

HB

的最小值．

解答： 解：（I）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），焦距為2c，
則由題意得 c=

3

，2a=

3 4 +(1+ 3 )2

+

3 4 +(1- 3 )2

=4，
∴a=2，b²=a²-c²=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

4

+x2=1．   …（4分）
∴右頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0）．
設(shè)拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px（p＞0），
∴

p

2

=1，  2p=4，
∴拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=4x． …（6分）
（Ⅱ）設(shè)l₁的方程：y=k（x-1），l₂的方程y=-

1

k

(x-1)，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），G（x₃，y₃），H（x₄，y₄），
由

y=k(x-1) y2=4x

消去y得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=2+

4

k2

，x₁x₂=1．
由

y=- 1 k (x-1) y2=4x

消去y得：x²-（4k²+2）x+1=0，
∴x₃+x₄=4k²+2，x₃x₄=1，…（9分）
∴

AG

•

HB

=(

AF

+

FG

)•(

HF

+

FB

)
=

AF

•

HF

+

AF

•

FB

+

FG

•

HF

+

FG

•

FB

=|

AF

|•|

FB

|+|

FG

|•|

HF

|
=|x₁+1|•|x₂+1|+|x₃+1|•|x₄+1|
=（x₁x₂+x₁+x₂+1）+（x₃x₄+x₃+x₄+1）
=8+

4

k2

+4k2≥8+2

4 k2 •4k2

=16．
當(dāng)且僅當(dāng)

4

k2

=4k2即k=±1時(shí)，

AG

•

HB

有最小值16．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．