Question

已知函數(shù)f(x)=

x+1

x2+3

（1）求f（x）的極值；
（2）若對(duì)任意x₁，x₂∈[-3，2]，有f（x₁）-f（x₂）≤m成立，求實(shí)數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，令其等于0判兩側(cè)的單調(diào)性得可得極值；
（2）由（1）可判區(qū)間[-3，2]的單調(diào)性，進(jìn)而可得極值，可求最值，把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，函數(shù)在所研究區(qū)間上的函數(shù)差值的最大值即為最大值與最小值的差．

解答：解：（1）函數(shù)f(x)=

x+1

x2+3

，則f′（x）=

x2+3-(x+1)2x

(x2+3)2

=-

x2+2x-3

(x2+3)2

令f′（x）=0解得x=-3，或x=1，且當(dāng)x∈（-∞，-3）時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（-3，1）時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）為減函數(shù)．
故函數(shù)在x=-3處取到極小值f（-3）=-

1

6

，在x=1處取到極大值f（1）=

1

2

（2）由（1）可知函數(shù)f（x）在[-3，1]上為增函數(shù)，在[1，2]上為減函數(shù)，
故函數(shù)在[-3，2]上有唯一的極大值即是最大值為f（1）=

1

2

，
又f（-3）=-

1

6

，f（2）=

3

7

，故最小值為-

1

6

f（x₁）-f（x₂）≤m成立，只需m≥[f（x₁）-f（x₂）]_max=

1

2

-(-

1

6

)=

2

3

故實(shí)數(shù)m的最小值為

2

3

點(diǎn)評(píng)：本題為函數(shù)極值與最值的求解，正確運(yùn)用極值與最值的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．