已知函數(shù)，．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若對任意正實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的值；

（Ⅲ）求證：．（其中）

 

【答案】

（Ⅰ）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為

（Ⅱ）（Ⅲ）利用放縮不等式可以證明，或用數(shù)學(xué)歸納法證明

【解析】

試題分析：(Ⅰ)易知函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013070511501324346326/SYS201307051150476475553712_DA.files/image004.png">，

 ；

(Ⅱ)解法一： 

 

 

  

 

 

綜上：；

解法二： 

  

由題意， 

，

 

(Ⅲ)證法一： 

  

，并累加得：  

 

 

證法二：數(shù)學(xué)歸納法（略）

考點(diǎn)：本小題主要考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì)，以及放縮法或數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和推理論證能力.

點(diǎn)評：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì)時(shí)，不要忘記先求函數(shù)的定義域，用放縮法證明不等式時(shí)，要注意放縮的力度要恰當(dāng)，如果用數(shù)學(xué)歸納法證明，需要嚴(yán)格按步驟進(jìn)行.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2-2x+c在x=-2時(shí)有極大值6，在x=1時(shí)有極小值，
（1）求a，b，c的值；
（2）求f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2
3
a•sinx•cosx•cos2x-6cos22x+3，且f(
π
24
)=0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的周期T和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若f（θ）=-3，且θ∈(-
5π
24
，
π
24
)，求θ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=asinx+bcosx+c的圖象上有一個(gè)最低點(diǎn)(
11π
6
，-1)．
（Ⅰ）如果x=0時(shí)，y=-
3
2
，求a，b，c．
（Ⅱ）如果將圖象上每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小到原來的
3
π
，然后將所得圖象向左平移一個(gè)單位得到y(tǒng)=f（x）的圖象，并且方程f（x）=3的所有正根依次成為一個(gè)公差為3的等差數(shù)列，求y=f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-4，設(shè)曲線y=f（x）在點(diǎn)（xn，f（xn））處的切線與x軸的交點(diǎn)為（xn+1，0）（n∈N*），其中x1為正實(shí)數(shù)．
（Ⅰ）用xn表示xn+1；
（Ⅱ）若x1=4，記an=lg
xn+2xn-2
，證明數(shù)列{an}成等比數(shù)列，并求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）若x1=4，bn=xn-2，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，證明Tn＜3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）的解析式為（　�。�
A、f(x)=2sin(
1
2
x+
π
6
)
B、f(x)=2sin(
1
2
x-
π
6
)
C、f(x)=2sin(2x-
π
6
)
D、f(x)=2sin(2x+
π
6
)

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