Question

（本題滿分14分）已知數(shù)列中，，，其前項(xiàng)和滿足（，）．

（Ⅰ）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)， 求數(shù)列的前項(xiàng)和 ；

（Ⅲ）設(shè)（為非零整數(shù)，），試確定的值，使得對任意，有恒成立．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）． （Ⅱ）

（Ⅲ）存在，使得對任意，都有．

【解析】

試題分析：（1）利用數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)a_n之間的關(guān)系，求出該數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵；注意分類討論思想的運(yùn)用；

（2）利用第一問中所求的公式表示出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式選擇合適的方法----錯位相減法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

（3）要使得即為，對于n分為奇數(shù)和偶數(shù)來得到。

解：（Ⅰ）由已知，（，），

即（，），且．

∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列．∴． …………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知  它的前項(xiàng)和為

（Ⅲ）∵，∴，

     

          ∴恒成立，

          ∴恒成立．

（�。┊�(dāng)為奇數(shù)時，即恒成立當(dāng)且僅當(dāng)時，有最小值為1，∴．

（ⅱ）當(dāng)為偶數(shù)時，即恒成立當(dāng)且僅當(dāng)時，有最大值，∴．即，又為非零整數(shù)，則．

   綜上所述，存在，使得對任意，都有．…………14分

考點(diǎn)：本試題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)a_n之間的關(guān)系，考查等差數(shù)列的判定，考查學(xué)生分類討論思想．運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)公式選取合適的求和方法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，體現(xiàn)了化歸思想．

點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是能將已知中前n項(xiàng)和關(guān)系式，通過通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系得到通項(xiàng)公式的求解，并合理選用求和方法得到和式。