Question

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB＞1，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)，小螞蟻從點(diǎn)A沿長(zhǎng)方體的表面爬到點(diǎn)C₁，所爬的最短路程為2

2

．
（1）求AB的長(zhǎng)度．
（2）求該長(zhǎng)方體外接球的表面積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)四邊形ADD₁A是正方形，則小螞蟻從點(diǎn)A沿長(zhǎng)方體的表面爬到點(diǎn)C₁可能有兩種途徑，然后比較兩個(gè)路程的大小從而求出AB的長(zhǎng)；
（2）求出長(zhǎng)方體外接球的半徑，即可求該長(zhǎng)方體外接球的表面積．

解答： 解：（1）設(shè)AB=x，點(diǎn)A到點(diǎn)C₁可能有兩種途徑，如圖甲的最短路程為|AC₁|=

x2+4

．
如圖乙的最短路程為|AC₁|=

x2+2x+2

，

圖甲　　　　　　　　　　　圖乙
∵x＞1，∴x²+2x+2＞x²+2+2=x²+4，故從點(diǎn)A沿長(zhǎng)方體的表面爬到點(diǎn)C₁的最短距離為

x2+4

．
由題意得

x2+4

=2

2

，解得x=2．即AB的長(zhǎng)度為2．
（2）設(shè)長(zhǎng)方體外接球的半徑為R，則（2R）²=1²+1²+2²=6，
∴R²=

3

2

，∴S_表=4πR²=6π．
即該長(zhǎng)方體外接球的表面積為6π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查分類討論思想，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．