Question

對(duì)于非空實(shí)數(shù)集A，記A^*={y|?x∈A，y≥x}．設(shè)非空實(shí)數(shù)集合M、P滿足：M⊆P，且若x＞1，則x∉P．現(xiàn)給出以下命題：
①對(duì)于任意給定符合題設(shè)條件的集合M、P，必有P^*⊆M^*；
②對(duì)于任意給定符合題設(shè)條件的集合M、P，必有M^*∩P≠∅；
③對(duì)于任意給定符合題設(shè)條件的集合M、P，必有M∩P^*=∅；
④對(duì)于任意給定符合題設(shè)條件的集合M、P，必存在常數(shù)a，使得對(duì)任意的b∈M^*，恒有a+b∈P^*，
其中正確的命題是（　　）

A．①③

B．③④

C．①④

D．②③

Answer 1

由于非空實(shí)數(shù)集A，記A^*={y|?x∈A，y≥x}，則A^*中元素為大于A中所有值的數(shù)的集合．
①由于M⊆P，假設(shè)M中最大值為m，P最大值為p，那么p≥m．因此M^*表示大于m所有數(shù)集合，P^*表示所有大于p的數(shù)的集合．則P^*⊆M^*，①正確；
②令M=P={x|0＜x＜

1

2

}，則M^*={x|x≥

1

2

}，故M^*∩P=∅，②錯(cuò)誤；
③令M={x|0＜x＜

1

2

}，P={x|0＜x≤

1

2

}，則M^*={x|x≥

1

2

}，故M^*∩P={x|x=

1

2

}≠∅，③錯(cuò)誤；
④令a=0，則對(duì)任意的b∈M^*，恒有a+b∈P^*，④正確．
故答案為C．