Question

如圖：已知A，B是圓x²+y²=4與x軸的交點，P為直線l：x=4上的動點，PA，PB與圓x²+y²=4的另一個交點分別為M，N．
（1）若P點坐標為（4，6），求直線MN的方程；
（2）求證：直線MN過定點．

Answer 1

分析：（1）直線PA方程為y=x+2，由

y=x+2 x2+y2=4

解得M（0，2），直線PB的方程 y=3x-6，由

y=3x-6 x2+y2=4

解得 N（

8

5

，-

6

5

），用兩點式求得MN的方程．
（2）設P（4，t），則直線PA的方程為 y=

t

6

（x+2），直線PB的方程為 y=

t

2

（x-2），解方程組求得M、N的坐標，從而得到MN的方程為y=

8t

12-t2

x-

8t

12-t2

，顯然過定點（1，0）．

解答：解：（1）直線PA方程為y=x+2，由

y=x+2 x2+y2=4

 解得M（0，2），…（2分）
直線PB的方程 y=3x-6，由

y=3x-6 x2+y2=4

 解得 N（

8

5

，-

6

5

），…（4分）
用兩點式求得MN的方程，并化簡可得 y=-2x+2．…（6分）
（2）設P（4，t），則直線PA的方程為 y=

t

6

（x+2），直線PB的方程為 y=

t

2

（x-2）．
由

y= t 6 (x+2) x2+y2=4

 得 M（

72-2t2

36+t2

，

24t

36+t2

），同理 N（

2t2-8

t2+4

，

-8t

t2+4

）． …（10分）
直線MN的斜率 k=

24t 36+t2 -  -8t t2+4

72-2t2 36+t2 -  2t2-8 t2+4

=

8t

12-t2

…（12分）
直線MN的方程為 y=

8t

12-t2

（x-

2t2-8

t2+4

）-

8t

t2+4

，
化簡得：y=

8t

12-t2

 x-

8t

12-t2

． …（14分）
所以直線MN過定點（1，0）．…（16分）

點評：本題主要考查直線過定點問題，求直線的方程，求兩條直線的交點坐標，屬于中檔題．