Question

（16分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式；

（2）若函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)；

①直接寫出的范圍（不必證明）；

②若對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1） ；（2）。

【解析】本試題主要是考查了抽象函數(shù)的解析式的求解和單調(diào)性的證明以及解不等式。

（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111918403578513208/SYS201211191841181445378182_DA.files/image005.png">為奇函數(shù)，所以，進(jìn)而得到解析式。

（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，對(duì)于參數(shù)a分為正負(fù)來討論得到取值范圍。

（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111918403578513208/SYS201211191841181445378182_DA.files/image007.png">，∴

所以是奇函數(shù)，∴，而又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111918403578513208/SYS201211191841181445378182_DA.files/image005.png">為上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以恒成立，分離參數(shù)的思想得到范圍。

（1）當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111918403578513208/SYS201211191841181445378182_DA.files/image005.png">為奇函數(shù)，

所以

所以                     …………………………6分

（2）①當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，所以在上單調(diào)遞減，

由于奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，所以在上單調(diào)遞減，

又在上，在上，

所以當(dāng)a0時(shí)，為R上的單調(diào)遞減函數(shù)

當(dāng)a>0時(shí)，在上遞增，在上遞減，不合題意

所以函數(shù)為單調(diào)函數(shù)時(shí)，a的范圍為a………………………………………….10分

②因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111918403578513208/SYS201211191841181445378182_DA.files/image007.png">，∴

所以是奇函數(shù)，∴            …………………………12分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111918403578513208/SYS201211191841181445378182_DA.files/image005.png">為上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以恒成立，…………………14分

所以恒成立， 所以  …………………………16分