已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，在x=-與x=1時都取得極值．求：
（1）求a、b的值
（2）若對x∈[-1，2]，有f（x）＜c2恒成立，求c的取值范圍．
【答案】分析：（1）根據(jù)所給的函數(shù)在兩個點取得極值，寫出函數(shù)的導函數(shù)，則導函數(shù)在這兩個點的值等于0，得到關于a，b的方程組，解方程組即可．
（2）要求一個恒成立問題，只要函數(shù)的最大值小于代數(shù)式即可，f （ x）的最大值為f （2）；要使f （ x）＜c2恒成立，只需f （2）＜c2，解不等式．
解答：解：（1）f′（ x）=3x2+2ax+b，
令f′（-）=0，f′（1）=0
得：a=-，b=-2
（2）由（1）知f （ x）=x3-x2-2x+c，
令f′（ x）=3x2-x-2＞0得x＜或x＞1，
所以f （ x）在[-1，-]，[1，2]上遞增；[-，1]上遞減，
又f （-）＜f （2），
∴f （ x）的最大值為f （2）；
要使f （ x）＜c2恒成立，只需f （2）＜c2，
解得c＜-1或c＞2．
點評：不同考查函數(shù)的極值的應用，考查函數(shù)的恒成立問題，本題解題的關鍵是寫出函數(shù)的最值，哪函數(shù)的最值同要比較的量進行比較，再利用不等式或方程思想．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　�。�
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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