Question

8．如圖，過橢圓的左頂點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線分別交橢圓與P、Q連接PQ．
（1）問直線PQ是否過一定點(diǎn)，如果經(jīng)過定點(diǎn)求出該點(diǎn)坐標(biāo)，否則請(qǐng)說明理由；
（2）求△APQ面積取最大值時(shí)，直線PQ的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，直線AP的方程為：y=k（x+a），聯(lián)立方程可得P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，可得直線PQ的兩點(diǎn)式方程，進(jìn)而可得直線PQ與x軸交點(diǎn)為定點(diǎn)；
（2）△APQ面積S=$\frac{1}{2}$AC（|y_P|+|y_Q|），求出三角形面積的表達(dá)式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)法，可得當(dāng)k=±1，即PQ與x軸垂直時(shí)，S取最大值，進(jìn)而得到答案．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
則A的坐標(biāo)為（-a，0），
設(shè)直線AP的方程為：y=k（x+a），代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$整理得：$（\frac{1}{{a}^{2}{k}^{2}}+\frac{1}{^{2}}）{y}^{2}-\frac{2}{ka}y=0$，
故P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：$\frac{\frac{2}{ka}}{\frac{1}{{a}^{2}{k}^{2}}+\frac{1}{^{2}}}$=$\frac{2{akb}^{2}}{^{2}{+a}^{2}{k}^{2}}$，
故P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（$\frac{{ab}^{2}-{a}^{3}{k}^{2}}{^{2}{+a}^{2}{k}^{2}}$，$\frac{2{akb}^{2}}{^{2}{+a}^{2}{k}^{2}}$），
由PA⊥QA得：QA的方程為：y=-$\frac{1}{k}$（x+a），
同理可得：Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：（$\frac{{ab}^{2}{k}^{2}-{a}^{3}}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}$，$\frac{-2{akb}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}$），
則直線PQ的方程為：$\frac{y+\frac{2{akb}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}}{\frac{2{akb}^{2}}{^{2}{+a}^{2}{k}^{2}}+\frac{2{akb}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}}$=$\frac{x-\frac{{ab}^{2}{k}^{2}-{a}^{3}}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}}{\frac{{ab}^{2}-{a}^{3}{k}^{2}}{^{2}{+a}^{2}{k}^{2}}-\frac{{ab}^{2}{k}^{2}-{a}^{3}}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}}$，
當(dāng)y=0時(shí)，x=$\frac{\frac{2{akb}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}}{\frac{2{akb}^{2}}{^{2}{+a}^{2}{k}^{2}}+\frac{2{akb}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}}$×$（\frac{{ab}^{2}-{a}^{3}{k}^{2}}{^{2}{+a}^{2}{k}^{2}}-\frac{{ab}^{2}{k}^{2}-{a}^{3}}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}）+\frac{{ab}^{2}{k}^{2}-{a}^{3}}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}$=$\frac{a（{a}^{2}-^{2}）}{{a}^{2}+^{2}}$，
即直線PQ過一定點(diǎn)C（$\frac{a（{a}^{2}-^{2}）}{{a}^{2}+^{2}}$，0）；
（2）△APQ面積S=$\frac{1}{2}$AC（|y_P|+|y_Q|）=$\frac{1}{2}$×$\frac{a（{a}^{2}-^{2}）}{{a}^{2}+^{2}}$×|$\frac{2{akb}^{2}}{^{2}{+a}^{2}{k}^{2}}$-$\frac{-2{akb}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}$|=$\frac{a（{a}^{2}-^{2}）}{{a}^{2}+^{2}}$×ab²（$\frac{k}{^{2}{+a}^{2}{k}^{2}}$+$\frac{k}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}$），
令M=$\frac{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}{k}$+$\frac{{a}^{2}+^{2}{k}^{2}}{k}$則M取最小值時(shí)，S有最大值；
∵M(jìn)′=$\frac{-^{2}}{{k}^{2}}+{a}^{2}+^{2}+\frac{-{a}^{2}}{{k}^{2}}$=$（{a}^{2}+^{2}）（1-\frac{1}{{k}^{2}}）$
故當(dāng)k=±1，即PQ與x軸垂直時(shí)，S取最大值，
此時(shí)直線PQ的方程為：x=$\frac{a（{a}^{2}-^{2}）}{{a}^{2}+^{2}}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線的方程，直線與圓錐曲線的關(guān)系，直線過定點(diǎn)，三角形面積公式，函數(shù)的最大值，綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量大，屬于難題．