Question

15．設(shè)F₁，F(xiàn)₂是橢圓C₁：$\frac{x^2}{{{a_1}^2}}+\frac{y^2}{{{b_1}^2}}$=1（a₁＞b₁＞0）與雙曲線C₂：$\frac{x^2}{{{a_2}^2}}-\frac{y^2}{{{b_2}^2}}$=1（a₂＞0，b₂＞0）的公共焦點，曲線C₁，C₂在第一象限內(nèi)交于點M，∠F₁MF₂=90°，若橢圓C₁的離心率e₁∈[$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，1），則雙曲線C₂的離心率e₂的范圍是（　�。�

• A． $（{1，\sqrt{3}}]$
• B． $（{1，\sqrt{2}}]$
• C． $[{\sqrt{3}，+∞}）$
• D． $[{\sqrt{2}，+∞}）$

Answer 1

分析 設(shè)MF₁=s，MF₂=t，由橢圓的定義可得s+t=2a₁，由雙曲線的定義可得s-t=2a₂，運用勾股定理和離心率公式，計算即可得到所求范圍．

解答 解：設(shè)MF₁=s，MF₂=t，由橢圓的定義可得s+t=2a₁，
由雙曲線的定義可得s-t=2a₂，
解得s=a₁+a₂，t=a₁-a₂，
由∠F₁MF₂=90°，運用勾股定理，可得
s²+t²=4c²，
即為a₁²+a₂²=2c²，
由離心率的公式可得，$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}=2$，
由e₁∈[$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，1），可得${{e}_{1}}^{2}$∈[$\frac{2}{3}$，1），
即有2-$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$∈[$\frac{1}{2}$，1），
解得e₂∈（1，$\sqrt{2}$]．
故選：B．

點評 本題考查橢圓和雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查離心率的求法，考查運算能力，屬于中檔題．