在平面直角坐標系內已知兩點A(-1,0)、B(1,0),若將動點P(x,y)的橫坐標保持不變,縱坐標擴大到原來的倍后得到點Q(x,y),且滿足·=1.
(Ⅰ)求動點P所在曲線C的方程;
(Ⅱ)過點B作斜率為-的直線l交曲線C于M、N兩點,且++=,試求△MNH的面積.
(1)曲線C的方程是+ y2=1 (2)S=
【解析】(I) 設點P的坐標為(x,y),則點Q的坐標為(x,y).然后求出=(x+1,y), =(x-1,y). 再對·=1坐標化化簡即可。
(II)先求出直線l的方程,然后與曲線C的方程聯立,消去y,得到關于x的一元二次方程。
下面解題的關鍵是++=,得=(- x1- x2,- y1- y2),即H(-1,-)
|MN|=然后利用韋達定理求出|MN|,再利用點到直線的距離公式求出高,問題得解。
解:(Ⅰ)設點P的坐標為(x,y),則點Q的坐標為(x,y).
依據題意,有=(x+1,y), =(x-1,y). ………………2分
∵·=1,∴x2-1+2 y2=1.∴動點P所在曲線C的方程是+ y2=1 …………4分
(Ⅱ)因直線l過點B,且斜率為k=-,故有l(wèi)∶y=-(x-1)………………5分
聯立方程組,消去y,得2x2-2x-1=0. …………………7分
設M(x1,y1)、N(x2,y2),可得,于是. ……………8分
又++=,得=(- x1- x2,- y1- y2),即H(-1,-)……10分
∴|MN|= …………………………………12分
又l: x+2y-=0,則H到直線l的距離為d=
故所求MNH三角形的面積為S=
科目:高中數學 來源: 題型:
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科目:高中數學 來源:2013屆廣東省高二下期中理科數學試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分)
在平面直角坐標系內已知兩點A(-1,0)、B(1,0),若將動點P(x,y)的橫坐標保持不變,縱坐標擴大到原來的倍后得到點Q(x,y),且滿足·=1.
(1)求動點P所在曲線C的方程;
(2)過點B作斜率為-的直線L交曲線C于M、N兩點,且++=,試求△MNH的面積.
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科目:高中數學 來源:2012年山東省萊蕪一中高三4月自主檢測數學試卷(文科)(解析版) 題型:解答題
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