Question

設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)積為T_n，且S_n+T_n=1．
（1）求a₁，S₂；
（2）求證：數(shù)列{

1

Tn

}是等差數(shù)列；
（3）試求數(shù)列{

1

an

}中最接近2012的項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等差關(guān)系的確定,數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)條件建立方程組，即可求a₁，S₂；
（2）根據(jù)條件利用歸納推理得到T_n=

1

n+1

的通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{

1

Tn

}是等差數(shù)列；
（3）求出數(shù)列{

1

an

}的通項(xiàng)公式，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁+a₁=2a₁=1，解得a₁=

1

2

，此時(shí)S₁=

1

2

，T₁=

1

2

．
當(dāng)n=2時(shí)，S₂+T₂=1，即

1

2

+a2+

1

2

•(

1

2

+a2)=1，
解得a2=

1

6

，S2=

1

2

+

1

6

=

4

6

=

2

3

．
（2）當(dāng)n=3時(shí)，a₁+a₂+a₃=S₃，S₁S₂S₃+S₃=1，
則a₃=S₃-S₂=S₃-

2

3

，T₃=S₁S₂S₃=

1

2

×

2

3

S₃=

1

3

S3，
即T₃+S₃=

1

3

S3+S3=

4

3

S3=1，
即S₃=

3

4

，則a₃=

3

4

-

2

3

=

1

12

則a₁=

1

2

，a₂=

1

6

，a₃=

1

12

…，
S₁=

1

2

，S₂=

2

3

，S₃=

3

4

…，
T₁=

1

2

，T₂=

1

3

，T₃=

1

4

…，
∴根據(jù)歸納推理可得
a_n=

1

n(n+1)

，
S_n=

n

n+1

，
T_n=

1

n+1

，
∴

1

Tn

=n+1，
則

1

Tn

-

1

Tn-1

=n+1-n=1為常數(shù)，
∴數(shù)列{

1

Tn

}是等差數(shù)列．
（3）∵a_n=

1

n(n+1)

，
∴

1

an

=n（n+1），
則當(dāng)n=44時(shí)，44×45=1980，45×46=2070，
∴第44項(xiàng)最接近．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用歸納推理是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．