Question

已知函數(shù)f（x）=|x-5|-|2x-2|+2．
（1）求f（x）的值域；
（2）關(guān)于x的不等式f（x）≤t+

1

t

，對(duì)t＞0恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法,函數(shù)的值域

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的值域．
（2）利用基本不等式可得f（x）≤2，數(shù)形結(jié)合求得此不等式的解集．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=|x-5|-|2x-2|+2=

x+5，x＜1 9-3x，1≤x＜5 -x-1，x≥5

，故函數(shù)f（x）在（-∞，1）上是增函數(shù)，
f（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)，
故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為f（1）=6，f（x）沒有最小值，故函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，6]．
（2）對(duì)t＞0，則有t+

1

t

≥2，故有f（x）≤2．
令f（x）=2，求得x=-3，或x=

7

3

，數(shù)形結(jié)合求得f（x）≤2的解集為（-∞，-3]∪[

7

3

，+∞）．
即要求的x的取值范圍為（-∞，-3]∪[

7

3

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．