Question

已知，點B是軸上的動點，過B作AB的垂線交軸于點Q，若

,.

(1)求點P的軌跡方程；

(2)是否存在定直線，以PM為直徑的圓與直線的相交弦長為定值，若存在,求出定直線方程;若不存在,請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）y²=x

（2）存在定直線x=，以PM為直徑的圓與直線x=的相交弦長為定值

【解析】

試題分析：解: (1)設B(0，t)，設Q(m，0)，t²=|m|，m0，m=-4t²，

 Q(-4t²，0)，設P(x，y)，則=(x-，y)，=(-4t²-，0)，

2=(-，2 t)， +=2。

(x-，y)+ (-4t²-，0)= (-，2 t)，

 x=4t²，y="2" t， y²=x，此即點P的軌跡方程；       6分。

(2)由(1)，點P的軌跡方程是y²=x；設P(y²，y)，M (4，0) ，則以PM為直徑的圓的    圓心即PM的中點T(，), 以PM為直徑的圓與直線x=a的相交弦長:

L=2

=2=2      10分

若a為常數，則對于任意實數y，L為定值的條件是a-="0," 即a=時，L=

存在定直線x=，以PM為直徑的圓與直線x=的相交弦長為定值。 3分

考點：拋物線定義，以及直線與圓

點評：解決的關鍵是能利用向量的關系式化簡得到坐標關系，同時能利用直線與圓的位置關系來求解定值，屬于基礎題。