Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），（a≥0）．
（1）如果a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，e-1）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）證明：當(dāng)m＞n＞0時(shí)，（1+m）ⁿ＜（1+n）^m．

Answer 1

分析：（1）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，從而確定f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）先確定函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，再根據(jù)f（x）在區(qū)間（-1，e-1）上單調(diào)遞增，建立不等式，從而可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）根據(jù)要證明的結(jié)論，利用分析法來(lái)證明本題，從結(jié)論入手，要證結(jié)論只要證明后面這個(gè)式子成立，兩邊取對(duì)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只要證明函數(shù)在一個(gè)范圍上成立，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的性質(zhì)．

解答：（1）解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞）（1分）
f′（x）=1-aln（x+1）-a（2分）
當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=-ln（x+1）
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0．
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）．（4分）
（2）解：①當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=1＞0
∴f（x）在（-1，+∞）上是增函數(shù)    （5分）
②當(dāng)a＞0時(shí)，令f/(x)=0，得x=e

1-a

a

-1，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，得-1＜x＜e

1-a

a

-1
所以f（x）的遞增區(qū)間為(-1，e

1-a

a

-1]（7分）
又因?yàn)閒（x）在區(qū)間（-1，e-1）上單調(diào)遞增
所以e-1≤e

1-a

a

-1，由此得a≤

1

2

（8分）
綜上，得0≤a≤

1

2

（9分）
（3）要證：（1+m）ⁿ＜（1+n）^m
只需證nln（1+m）＜mln（1+n），
只需證

ln(1+m)

m

＜

ln(1+n)

n

設(shè)g(x)=

ln(1+x)

x

，(x＞0)，（10分）
則g′(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

=

x-(1+x)ln(1+x)

x2(1+x)

（11分）
由（1）知：即當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-（1+x）ln（1+x），在（0，+∞）單調(diào)遞減，
即x＞0時(shí)，有f（x）＜f（0），-------（12分）
∴x-（1+x）ln（1+x）＜0，所以g′（x）＜0，
即g（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)，（13分）
即當(dāng)m＞n＞0時(shí)，g（m）＜g（n），
故原不等式成立．         （14分）

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，考查化歸思想，考查構(gòu)造函數(shù)，是一個(gè)綜合題，解題時(shí)確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．