Question

（本小題滿分16分）

在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與x軸正半軸和y軸正半軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，△AOB的內(nèi)切圓為圓M．

（1）如果圓M的半徑為1，l與圓M切于點(diǎn)C (，1＋)，求直線l的方程；

（2）如果圓M的半徑為1，證明：當(dāng)△AOB的面積、周長(zhǎng)最小時(shí)，此時(shí)△AOB為同一個(gè)三角形；

（3）如果l的方程為x＋y－2－＝0，P為圓M上任一點(diǎn)，求＋＋的最值．

 

Answer 1

【答案】

解析：（1）由題可得＝，＝．所以l：y＝＋＋1．

（2）設(shè)A(a，0)，B(0，b) (a＞2，b＞2)，則l：bx＋ay－ab＝0．由題可得M (1，1)．

所以點(diǎn)M到直線l的距離d＝＝1，整理得(a－2)(b－2)＝2，即ab－2(a＋b)＋2＝0．于是ab＋2＝2(a＋b)≥，≥2＋，ab≥6＋．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2＋時(shí)，ab＝6＋．

所以面積S＝≥3＋，此時(shí)△AOB為直角邊長(zhǎng)為2＋的等腰直角三角形．

周長(zhǎng)L＝a＋b＋≥＋＝(2＋)·≥＝6＋，此時(shí)△AOB為直角邊長(zhǎng)為2＋的等腰直角三角形．

所以此時(shí)的△AOB為同一個(gè)三角形．

（3）l的方程為x＋y－2－＝0，得A(2＋，0)，B(0，2＋)，：＋＝1，設(shè)P(m，n)為圓上任一點(diǎn)，則＋＝1，＋＝2(m＋n)－1，

＋＝1≥，2－≤m＋n≤2＋．

＋＋＝＋－(4＋)(m＋n)＋＝(9＋)－(－2)(m＋n)．

當(dāng)m＋n＝2－時(shí)，＝(9＋)－(－2)( 2－)＝17＋．此時(shí)，m＝n＝1－．

當(dāng)m＋n＝2＋時(shí)，＝(9＋)－(－2)( 2＋)＝9＋．此時(shí)，m＝n＝1＋．

 

【解析】略