Question

3．已知在數列{a_n}中，a₁=1，（2n+1）a_n=（2n-3）a_n-1（n≥2），則數列{a_n}的通項公式為$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）．

Answer 1

分析 通過對（2n+1）a_n=（2n-3）a_n-1（n≥2）變形可知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2n-3}{2n+1}$（n≥2），進而利用累乘法計算即得結論．

解答 解：∵（2n+1）a_n=（2n-3）a_n-1（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2n-3}{2n+1}$（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{2n-5}{2n-1}$，…，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{3}{7}$，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{5}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{1×3}{（2n+1）（2n-1）}$，
又∵a₁=1，
∴a_n=$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
故答案為：$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）．

點評 本題考查數列的通項，利用累乘法是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．