Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且．?dāng)?shù)列{b_n}滿(mǎn)足b₁=2，b_n+1-2b_n=8a_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，是否存在常數(shù)λ，使得不等式（n∈N^*）恒成立？若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（Ⅰ）解：當(dāng)n=1時(shí) ；
當(dāng)n≥2時(shí) ，
因?yàn)閍₁=1適合通項(xiàng)公式．
所以 （n∈N^*）． …（5分）
（Ⅱ）證明：因?yàn)?b_n+1-2b_n=8a_n，所以 ，即．
所以是首項(xiàng)為=1，公差為2的等差數(shù)列．
所以，
所以． …（9分）
（Ⅲ）解：存在常數(shù)λ使得不等式（n∈N^*）恒成立．
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/523925.png' />①
所以2T_n=1•2²+3•2³+…+（2n-5）•2^n-1+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹②
由①-②得，
化簡(jiǎn)得．
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/523928.png' />==，
（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，所以，即．
所以當(dāng)n=1時(shí)，的最大值為，所以只需；
（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，所以，
所以當(dāng)n=2時(shí)，的最小值為，所以只需；
由（1）（2）可知存在，使得不等式（n∈N^*）恒成立．…（13分）
分析：（Ⅰ）根據(jù)數(shù)列遞推式，再寫(xiě)一式，兩式相減，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）根據(jù)b_n+1-2b_n=8a_n，可得，從而可得是首項(xiàng)為=1，公差為2的等差數(shù)列，由此可求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）存在常數(shù)λ使得不等式（n∈N^*）恒成立．利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，再分類(lèi)討論，利用分離參數(shù)法，即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的求和，考查存在性問(wèn)題的探究，考查分離參數(shù)法的運(yùn)用，屬于中檔題．