Question

設(shè),用表示當(dāng)時(shí)的函數(shù)值中整數(shù)值的個(gè)數(shù).
(1)求的表達(dá)式.
(2)設(shè),求.
(3)設(shè),若,求的最小值.

Answer 1

（1）；(2)；(3)的最小值是7.

試題分析：（1）求出函數(shù)在上的值域，根據(jù)值域即可確定其中的整數(shù)值的個(gè)數(shù)，從而得函數(shù)的表達(dá)式.(2)由（1）可得.為了求，可將相鄰兩項(xiàng)結(jié)合，看作一項(xiàng)，這樣便可轉(zhuǎn)化為一個(gè)等差數(shù)列的求和問題，從而用等差數(shù)列的求和公式解決. (3)易得.由等差數(shù)列與等比數(shù)列的積或商構(gòu)成的新數(shù)列，求和時(shí)用錯(cuò)位相消法.，則大于等于的上限值.
試題解析：對(duì),函數(shù)在單增,值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824044110223703.png" style="vertical-align:middle;" />,  故.
(2),故


.
(3)由得,且

兩式相減,得


于是故若且,則的最小值是7.