某油料庫已儲油料a噸,按計劃正式運營后的第一年進(jìn)油量為已儲油量的25%,以后每年的進(jìn)油量為上一年底儲油量的25%,且每年運出b噸.設(shè)為正式運營第n年底的儲油量.

(Ⅰ)求的表達(dá)式并加以證明;

(Ⅱ)為抵御突發(fā)事件,該油庫年底儲油量不得少于a噸,如果b=a噸,該油庫能否長期按計劃運營,如果可以請加以證明,如果不行請說明理由.

(取lg2=0.30,lg3=0.48)

答案:
解析:

  解:(Ⅰ)依題意,油庫原有儲油量為a噸,則a1= a-b,

 解:(Ⅰ)依題意,油庫原有儲油量為a噸,則a1a-b,

  a2a1-b=a-(+1)b,

  a3a2-b=a-[+1]b,

  推測:ana-[+…++1]b

    。a-4[-1]b  (n∈N).

  用數(shù)學(xué)歸納法證明:

  (1)當(dāng)n=1時,a1a-4[-1]b=a-b,推測成立

  (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N)時,aka-4[-1]b成立.

  當(dāng)n=k+1時,依題意ak+1ak-b.

  ∴ak+1{a-4[-1]b}-b

 。a-4[]b-b

 。a-4[-1]b

  即當(dāng)n=k+1時,推測也成立.由(1)(2)知,對于n∈N,推測成立.  (Ⅱ)如果b=a噸時,該油庫第n年年底儲油量不少于a噸,即

  a-4[-1]·a≥a.

  即≤3.n≤3==4.8.

  說明該油庫只能在5年內(nèi)運營,因此不能長期運營.


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