Question

【題目】【2016高考山東理數(shù)】平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C： 的離心率是，拋物線E：的焦點(diǎn)F是C的一個頂點(diǎn).

（I）求橢圓C的方程；

（II）設(shè)P是E上的動點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線與C交與不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為D，直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M.

（i）求證：點(diǎn)M在定直線上;

（ii）直線與y軸交于點(diǎn)G，記的面積為，的面積為，求 的最大值及取得最大值時點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（i）見解析；（ii）的最大值為，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的離心率和焦點(diǎn)求方程；（Ⅱ）（i）由點(diǎn)P的坐標(biāo)和斜率設(shè)出直線l的方程和拋物線聯(lián)立，進(jìn)而判斷點(diǎn)M在定直線上；（ii）分別列出，面積的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)求最值和此時點(diǎn)P的坐標(biāo).

試題解析：

（Ⅰ）由題意知，可得：.

因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)為，所以，

所以橢圓C的方程為.

（Ⅱ）（i）設(shè)，由可得，

所以直線的斜率為，因此直線的方程為，即.

設(shè)，聯(lián)立方程

得，

由，得且，

因此,

將其代入得，

因?yàn)?/span>，所以直線方程為.

聯(lián)立方程，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

即點(diǎn)在定直線上.

（ii）由（i）知直線方程為，

令得，所以，

又，

所以，

，所以，

令，則，

當(dāng)，即時，取得最大值，此時，滿足，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此的最大值為，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為.