Question

8．已知P為橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1上的任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M在線段OP上，且$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OP}$
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）已知直線3x+6y-2=0與M的軌跡相交于A，B兩點(diǎn)，求△OAB的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)M（x，y），P（x₀，y₀），由$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OP}$，解出P（x₀，y₀），代入橢圓方程即可得出．
（2）直線3x+6y-2=0與M的軌跡方程聯(lián)立解得點(diǎn)A，B坐標(biāo)，利用三角形面積計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），P（x₀，y₀），
由$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OP}$得$（{x，y}）=\frac{1}{3}（{{x_0}，{y_0}}）⇒\left\{\begin{array}{l}{x_0}=3x\\{y_0}=3y\end{array}\right.$，
∵P（x₀，y₀）在橢圓上，∴$\frac{{9{x^2}}}{4}+9{y^2}=1$，
∴M的軌跡方程為：$\frac{9{x}^{2}}{4}+9{y}^{2}$=1．
（2）據(jù)已知$\left\{\begin{array}{l}3x+6y-2=0\\ \frac{{9{x^2}}}{4}+9{y^2}=1\end{array}\right.⇒3{x^2}-2x=0$，
$\begin{array}{l}∴x=\frac{2}{3}或x=0\\∴A（{\frac{2}{3}，0}），B（{0，\frac{1}{3}}）\end{array}$
∴${S_{△OAB}}=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．