Question

已知函數(shù)f（x）=4sinxcos（x+

π

3

）+

3

．
（1）f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

6

]上的最大值和最小值及取得最值時(shí)x的值．
（2）若方程f（x）-t=0在x∈[-

π

4

，

π

2

]上有唯一解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先通過三角函數(shù)的關(guān)系式對(duì)函數(shù)進(jìn)行恒等變換，進(jìn)一步把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用三角函數(shù)的定義域求出函數(shù)的最值．
（2）利用（1）的結(jié)論，對(duì)具有嚴(yán)格單調(diào)區(qū)間的函數(shù)具有唯一解．

解答： 解：（1）f（x）=4sinx(cosxcos

π

3

-sinxsin

π

3

）+

3

=2sinxcosx-2

3

sin2x+

3

=sin2x+

3

cos2x
=2sin(2x+

π

3

) 
因?yàn)椋?

π

4

≤x≤

π

6

，
所以：-

π

6

≤2x+

π

3

≤

2π

3

所以-

1

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1，
所以-1≤f（x）≤2，
當(dāng)2x+

π

3

=-

π

6

，
即x=-

π

4

時(shí)，f（x）_min=-1，當(dāng)2x+

π

3

=

π

2

，即：x=

π

12

時(shí)，f（x）_max=2，
（2）因?yàn)?span id="p944k9p" class="MathJye">-

π

4

≤x≤

π

12

時(shí)，-

π

6

≤2x+

π

3

≤

π

2

，-1≤2sin(2x+

π

3

)≤2
且單調(diào)遞增，

π

12

≤x≤

π

2

時(shí)，

π

2

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，
所以-

3

≤2sin(2x+

π

3

)≤2，且單調(diào)遞減，
所以f（x）=t，有唯一解時(shí)對(duì)應(yīng)t的范圍為t∈[-

3

，-1]或t=2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，利用函數(shù)的定義域求三角函數(shù)的值域，最值的應(yīng)用，單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．