Question

如圖，動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成．

(1)現(xiàn)有可圍36m長網(wǎng)的材料，每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使每間虎籠面積最大？

(2)若使每問虎籠面積為，則每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使圍成四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長最小？

Answer 1

答案：略
解析：

解：(1)設(shè)每間虎籠長x m，寬為y m，則由條件知：4x＋6y=36，即2x＋3y=18． 設(shè)每間虎籠面積為S，則S=xy． 方法1：由于， ∴，得， 即，當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時，等號成立． 由解得 故每間虎籠長為4.5m，寬為3m時，可使面積最大． 方法2：由2x＋3y=18，得． ∵x＞0，∴0＜y＜6， ． ∵0＜y＜6，∴6－y＞0， ∴． 當(dāng)且僅當(dāng)6－y=y，即y=3時，等號成立，此時x=4.5． 故每間虎籠長4.5m，寬3m時，可使面積最大． (2)由條件知S=xy=24． 設(shè)鋼筋網(wǎng)總長為l，則l=4x＋6y． 方法1：∵， ∴l=4x＋6y=2(2x＋3y)≥48，當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時，等號成立． 由解得 故每間虎籠長6m，寬4m時，可使鋼筋網(wǎng)總長最�。� 方法2：由xy=24，得． ∴． 當(dāng)且僅當(dāng)，即y=4時，等號成立，此時x=6． 故每間虎籠長6m，寬4m時，可使鋼筋網(wǎng)總長最�。� 設(shè)每間虎籠長x m，寬y m，則問題(1)是在4x＋6y=36的前提下求xy的最大值；而問題(2)則是在xy=24的前提下求4x＋6y的最小值．因此，使用極值定理解決．

提示：

設(shè)每間虎籠長x m，寬y m，則問題(1)是在4x＋6y=36的前提下求xy的最大值；而問題(2)則是在xy=24的前提下求4x＋6y的最小值．因此，使用極值定理解決． 在使用極值定理，求函數(shù)的最大值或最小值時要注意：①x，y都是正數(shù)；②積xy(或和x＋y)為定值；③x與y必須能夠相等，特別情況下，還要根據(jù)條件構(gòu)造滿足上述三個條件的結(jié)論．